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Ein paar Hinweise:

Natürlich sollte man versuchen, das Gesülze in mathematische Gleichungen zu fassen.
Neben dem Gehalt der Klarabella gibt es offenbar noch zwei weitere unbekannte Größen, die eine Rolle spielen. Zwar ändern auch jene sich mit jeder neuen Aussage, jedoch kennt man ja je den Zahlenfaktor, um den sie dieses tun.

Was auffällt:
Alle Relationen, die man in Gleichungen packen könnte, betreffen einen Zeitpunkt, wo die 20% Ehezuschlag schon drauf sind.
Da jenes Gehalt weiter mit Faktoren multipliziert werden müßte, ist es besser, man setzt nicht das gesuchte Gehalt VOR der Ehe, sondern das unmittelbar danach als Variable.
Wenn man Letzteres hat, kann man ja immer noch die 20% (aber Achtung! 20% von was?) rausrechnen.

Man erhält 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten.
Wie man solche löst, hat hier vielleicht nicht jeder gelernt (wird im Gymnasium meistens in Klasse 9 oder 10, in der Fachoberschule (wo ja meistens ehemalige Realschüler ihr Fachabi machen) in der 11 oder 12).

Daher ein paar Überlegungen:

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2 Gleichungen mit 2 Unbekannten (Realschule und Gymnasium in Klasse 9):



Nehmen wir das System

(#1) 3x + 5y = 11
(#2) 5x + 3y = 13


(#1) könnte man umformen in die Gleichung:
(#1') y = -3/5x +11/5 (= -0,6x + 2,2) ,
(#2) in:
(#2') y = -5/3x + 13/3

Wir haben also letztlich die Gleichungen für 2 Geraden unterschiedlicher Steigung (Zahl vor dem x, wegen des Minuszeichens geht es je bergab).
Solche Geraden schneiden sich im 2-Dimensionalen immer in genau einem Punkt (Paar aus x und y). Lediglich parallele Geraden "schneiden" sich entweder auf jedem ihrer Punkte (wenn sie nämlich gleich sind) oder nirgendwo (Höhenverschiebung verschieden, Steigung gleich).

Zurück zu den vorliegenden Gleichungen:
Da ich jetzt beide Ursprungsgleichungen nach einer Variablen aufgelöst habe, könnte ich einfach die rechten Seiten von (#1*) und (#2*) gleichsetzen ("Gleichsetzungsverfahren") und hätte eine Gleichung, wo nur noch x vorkäme.
Alternativ könnte ich auch (#1*) in(#2) oder (#2*) in (#1) einsetzen ("Einsetzungsverfahren") und auch so verschwände das y.

Mache ich jetzt aber bewußt nicht, da diese beiden Verfahren für 3 und mehr Unbekannte wenig komfortabel sind (wenn eine der Gleichungen hingegen nicht linear ist, also z.B. x im Quadrat enthält, muß ich in jedem Falle auf diese Verfahren zurückgreifen, da das folgende "Additionsverfahren" nur bei linearen Gleichungen anwendbar ist:).

Vor dem x steht einmal die fünf, in der anderen Gleichung die 3 als Faktor.
Das kleinste gemeinsame Vielfache von 3 und 5 ist - da beides Primzahlen sind - ihr Produkt, also 15.
Multipliziere ich also (#1) mit 5 und (#2) mit 3, so haben beide resultierenden Gleichungen genau 15x, und wenn ich sie voneinander abziehe, erhalte ich eine Gleichung, in der nur noch y vorkommt:

[(#):= 5* (#1) - 3*(#2):] 16y = 16
Man erhält also y=1, welches man dann in eine der Gleichungen einsetzt und rausfindet, daß x=2 ist..



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Wie ist es jetzt aber im 3-Dimensionalen?

Nehmen wir die Gleichung:

(##1) 3x + 5y + z = 20

Auch in dieser könnte ich eine Variable freistellen und das ganze als Funktion auffassen:

(##1
') z = -5y - 3x + 20

Dieses ist aber nicht die Gleichung einer Geraden!
Ich habe ja nicht eine, sondern zwei Variablen (y und z), in die ich frei einsetzen kann, also 2 "Freiheitsgrade"!
Somit handelt es sich um eine (2-dimensionale) Ebene!
(Die einfachsten Ebenen im 3-dimensionalen Raum wären ja z=0 (x-y-Ebene), y=o (x-z-Ebene) und x=0 (y-z-Ebene).)

Nun, 2 Ebenen werden sich wohl kaum in einem einzigen Punkt schneiden, sondern höchstens - wenn sie nicht parallel sind (wie z.B. zwei Stockwerke eines Wohnhauses es zweckmäßigerweise sein sollten) - in einer Geraden!
Wenn ich jetzt aber eine dritte Ebene mit dieser Geraden schneide, könnte genau ein Tripel (x,y,z) als Lösung rauskommen.
Könnte, muß aber nicht!
Die Telefonleitung ist z.B. 6 Meter über der Straße aufgehängt und schneidet die Fußbodenebene nicht!
Und die Hochspannungsleitung kreuzt die Straße in 20m Höhe und schneidet den Fußboden ebenfalls nicht!
Zum Fußboden - einer Ebenen - verlaufen beide Leitungen parallel.
Zwei Geraden müssen hingegen sich im 3-Dimensionalen weder schneiden noch parallel sein!
Sehen wir doch in unserem Beispiel der beiden Leitungen!
Solche Geraden stehen zueinander windschief. Ob Ihr es glaubt oder nicht::
Das ist der mathematische Fachbegriff für dieses Verhältnis zweier Geraden zueinander!
In "Wer wird Millionär" hat mal jemand die Chance auf 500 000 Ohren verpaßt, weil der sich nicht vorstellen konnte, daß die Mathematik derart alberne Begriffe bemüht!

Warum diese Überlegungen?
Nun:
Wenn ich drei Gleichungen mit drei Unbekannten habe, würde ich ja mehr oder weniger den Schnittpunkt dreier Ebenen suchen.
Dieses könnte ich z.B. tun, indem ich Ebene 1 mit Ebene 2 schneide (erste Gerade) und dann Ebene 2 mit Ebene 3 (zweite Gerade) und dann den Schnittpunkt dieser Geraden suche.
Nur gibt es diesen Schnittpunkt halt höchst selten!

Jeder von Euch könnte einfach blind zwei Gleichungen mit 2 Unbekannten erfinden und die hätten fast immer genau ein (x.y)-Paar zur Lösung.
Wer das aber bei 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten versucht, der wird fast immer zu einem System ohne Lösung kommen!



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Gut, kommen wir also zu den Fällen, wo es eine Lösung gibt!

Betrachten wir das folgende System:

(##1)   3x + 5y + 7z   = 26
(##2)   5x + 6y + 8z   = 35
(##3) 10x + 7y  + 9z  = 53


Hier kann ich nicht in nur einem Schritt gleich zu einer Gleichung mit nur einer Unbekannten kommen.
Aber ich könnte trotzdem völlig analog zum besprochenen 2-dimensionalen Fall die beiden oberen Gleichungen auf "15x" bringen und voneinander abziehen.
Dann hätte ich nur noch eine Gleichung in y und z (die Schnittgerade der beiden Ebenen):
[(#1):=5*(##1)-3*(##2):] 7y + 11z = 25
Bringe ich jetzt in analoger Weise (##2) und (##3) auf "10x" (was ich bei der dritten Gleichung nicht mehr tun muß) und ziehe sie voneinander ab:
[(#2)=2*(##2)-(##3):] 5y + 7z = 17 ,
so habe ich 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten und komme im üblichen Verfahren (auf "35y" bringen und voneinander abziehen)
[(#):=5*(#1)-7*(#2):] 6z = 6
auf die Lösung z=1, die ich dann in (#2) einsetzen kann, um y=2 zu erhalten, was z.B. in (##1) zu x=3 führt.



Also:
Ich nehme mir zwei Paare der 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten und eliminiere dort eine der Unbekannten.
Aber bitte in beiden Fällen die Gleiche, sonst artet das in eine Beschäftigungstherapie aus!!!
Jetzt habe ich nur noch 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten, die ich in altbekannter Weise löse!

Taucht eine der drei Unbekannten in einer der drei Gleichungen nicht auf, so habe ich weniger Arbeit, wenn ich in den verbleibenden beiden Gleichungen ebendiese Variable eliminiere.
Beispiel:
(##1)   3x + 5y + 7z   = 26
(##2)   5x + 6y + 8z   = 35
(##3) 10x + 7y           = 44
Hier werfe ich zweckmäßigerweise in den ersten beiden Gleichungen das z raus und habe zusammen mit der dritten 2 Gleichungen in x und y

Hat gar nur eine der drei Gleichungen die dritte Variable, so bestimme ich zweckmäßigerweise zuerst die Lösungen für die beiden anderen Variablen aus den anderen beiden Gleichungen, um dann in die dritte einzusetzen.
Beispiel:
(##1)   3x + 5y + 7 z   = 26
(##2)   5x + 6y +        = 27
(##3) 10x + 7y           = 44
Hier
macht es Sinn, zunächst das System aus der zweiten und der dritten Gleichung - 2 Gleichungen in x und y - zu lösen.

In wieder anderen Fällen tauchen z.B. in allen 3 Gleichungen nur 2 Variablen auf, aber stets ein anderes Pärchen. 
Beispiel:
(##1)   3x + 5y   = 16
(##2)   5x + 8z   = 31
(##3)   7y  + 9z  = 23

Hier kann ich z.B. in den ersten beiden Gleichungen x eliminieren, sodaß ich zusammen mit der dritten Gleichung 2 Gleichungen in y und z habe.


Bem:
Völlig analog führt man auch ein System von 8 Gleichungen mit 8 Unbekannten auf eines mit 7 Gleichungen und 7 Unbekannten zurück, jenes wieder auf 6 Gleichungen mit 6 Unbekannten, etc., bis ich bei einer Gleichung mit einer Unbekannten bin, um dann von unten nach oben einzusetzen und successive alle Werte der zuvor eliminierten Variablen zu erhalten.
Allerdings schreibt man in diesen Fällen die Gleichungen nur noch als Zahlenmatrix hin (Gaußscher Algorithmus - wird in der Schule im Leistungskurs der Klasse 12 gemacht, im Grundkurs nur gelegentlich. Muß aber jeder Ingenieur, Informatiker, etc. können!).

 

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