Grafik-Analogien

Bei den Zahlenfolgen war es gefragt, die zwischen den einzelnen Folgegliedern ablaufenden Prozeduren zu erkennen und fortzusetzen [zu ‚iterieren‘]. Da es sich bei den Folgegliedern um Zahlen gehandelt hat - also Objekte, für die wir bereits über ein abstraktes Kalkül verfügen - hat sich eine Zerlegung in mathematische Schritte förmlich aufgedrängt.

Nunmehr haben wir es mit geometrischen Objekten zu tun, wo es nur wenige denkbare einfache Operationen wie Drehung, Spiegelung, Umfärbung, Hinzufügung und Auslassung gibt, die es zunächst zu beschreiben gilt..
Da die Anweisung auf eine völlig neue Figur zu übertragen ist, wird man rein assioziativ kaum weiterkommen. Es ist also unabdinglich erforderlich, die anzuwendende Prozedur möglichst abstrakt und präzise zu fassen.

Zunächst eine Vorüberlegung: Die Gleichung
a1 : a2 = b1 : b2 läßt sich immer [:b1 , *a2] überführen in a1 : b1 = a2 : b2 .

[Ganz allgemein läßt sich jede Verhältnisgleichung a1/a2=b1/b2 beliebig umstellen, wenn man nur beachtet, daß die Elemente, die nichts Unmittelbares miteinander zu tun haben, diagonal zueinander stehen, d.h. a1 und b2 nie gleichzeitig im Zähler (oder Nenner) und nie im gleichen Bruch. Genau diese Zahlen können in einer Verhältnisgleichung gegeneinander vertauscht werden.]

Für die folgenden Aufgaben heißt das aber nichts anderes, als daß wir frei wählen können, ob wir den Schritt von der ersten zur zweiten Figur auf die dritte Figur anwenden [ b2=a2/a1 *b1 ] oder den Schritt von der ersten zur dritten Figur auf die zweite anwenden [ b2=b1/a1*a2 ], um die gesuchte Figur zu ermitteln. Zweckmäßigerweise werden wir uns von den beiden Verhältnissen dasjenige auswählen, welches einer möglichst einfachen Vorschrift genügt, und diese Vorschrift auf die verbleibende Figur anwenden. In der Regel handelt es sich dabei um das Verhältnis zu derjenigen der beiden Figuren, die der ersten Figur "ähnlicher" sieht.

  1. Hier betrachten wir zweckmäßigerweise den Schritt von der ersten zur dritten Figur:
    eine Drehung um 90° im Gegenuhrzeigersinn.
    Aus der zweiten Figur wird hierdurch e).

  2. Von der ersten zur dritten Figur findet eine Drehung um 45° im Gegenuhrzeigersinn statt.
    Aus der zweiten Figur wird vermöge deren d).

  1. Um aus einem "A" ein "V" zu erhalten [erste zur zweiten Figur], muß man ersteres auf den Kopf stellen und den Querbalken entfernen.
    Wendet man diese Vorschrift auf ein "H" an, so ändert sich beim Zwischenschritt zunächst nichts ["H" bleibt "H", da kann es sich auf den Kopf stellen].
    Nach Entfernen des Querbalkens verbleiben schließlich zwei senkrechte Parallelen, die denen in Antwort c.) frappierend ähnlich sehen.

  1. Diese Aufgabe ist die mit Abstand schwierigste dieses Abschnittes und die Ähnlichkeiten zwischen den Figuren sind deutlich geringer als in den bisherigen Aufgaben. Es ist also keine Schande, diese Aufgabe nicht innerhalb der Zeitvorgabe gelöst zu haben.

Zunächst sei ein Fehlversuch beschrieben:

Die zweite Figur entsteht aus der ersten, indem man

  1. das äußere Quadrat entfernt

  2. das schwarze Kreissegment um 90° im Uhrzeigersinn weiterdreht und

  3. die vormals schwarze Fläche schraffiert .

Die hierdurch aus Figur drei entstehende Figur wäre ein geviertelter Kreis, der links oben weiß, rechts unten schwarz und ansonsten schraffiert wäre.
Ein solcher wird jedoch nicht als Lösung angeboten!

Man betrachte also nochmals die Prozeduren A)-C) und überlege, welche sich durch eine andere Vorschrift ersetzen ließe.

Zunächst einmal scheint A) unabdinglich.
B) hingegen könnte man durch die Vorschrift

  1. das schwarze Kreissegment
    wird nach links geklappt

ersetzen unter Beibehaltung von C).

Angewandt auf Figur drei erhielte man einen geviertelten Kreis, der links oben schwarz, rechts unten weiß und ansonsten schraffiert ist. Und siehe da: Ein solcher wird unter Lösung a) feilgeboten.

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