LÖSUNG - Folge 8

  1. In dieser Folge kommt man mit rein algebraischen Methoden nicht weiter.
    Zunächst bemerke man, daß die Folge, solange sie steigt, immer genau verdoppelt. Lediglich die Schritte von 0,6 nach 0,2 und von 0,8 nach 0,6 erscheinen willkürlich. Es fällt allerdings auf, daß 0,6 und 0,8 die einzigen Zahlen sind, die größer als 0,5 sind. Würde man eine solche Zahl verdoppeln, so käme eine Zahl größer 1 heraus, und eine solche kommt offenbar nicht vor:
    0,6*2=1,2 bzw. 0,8*2=1,6 .
    Denkt man sich die 1 durch eine 0 ersetzt, hat man allerdings sofort den Nachfolger innerhalb der Folge.
    Der Schritt lautet daher also immer "(*2)MOD1", d.h. die Zahl wird jeweils verdoppelt und die eventuell vor dem Komma stehende 1 abgeschnitten. Der hinteren 0,6 wird somit abermals eine 0,2 folgen.

Die Zahlen 0,2 -> 0,4 -> 0,8 -> 0,6 bilden einen Viererzyklus, in den auch die 0,3 "hereinläuft". Die Zahl 0,5 hingegen liefe unter gleicher Vorschrift in den Einerzyklus (=Fixpunkt) 0.

Gäbe es übrigens einen Dreierzyklus, so würde ein bekanntes Gesetz hieraus Chaos [für die auf [0,1) definierte Funktion f(x)=(2x)MOD1] folgern, d.h. die Existenz von Zyklen beliebig hoher Länge.

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